phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ôn thi đại học

1
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2009 
I. Đường trực tiếp 
1. Phương trình đường thẳng liền mạch 
a) Các khái niệm 
• Vectơ ( );n A BG không giống vectơ 0G và có mức giá vuông góc với đường thẳng liền mạch ( )d được gọi là vectơ 
pháp tuyến của đường thẳng liền mạch ( )d 
• Vectơ ( );u a bG không giống vectơ 0G có mức giá tuy nhiên song hoặc trùng với ( )d được gọi là vectơ chỉ 
phương của đường thẳng liền mạch ( )d 
Nếu 0a ≠ thì bk
a
= được gọi là thông số góc của đường thẳng liền mạch ( )d 
• Chú ý: 
- Các vectơ pháp tuyến (vectơ chỉ phương) của một đường thẳng liền mạch thì nằm trong phương. Nếu 
( );n A BG là vectơ pháp tuyến của ( )d thì ( ). ;k n kA kB=G cũng chính là vectơ pháp tuyến của ( )d 
- Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của một đường thẳng liền mạch thì vuông góc nhau. Nếu 
( );n A BG là vectơ pháp tuyến thì ( );u B A−G là vectơ chỉ phương. 
b) Các dạng phương trình 
• Phương trình tổng quát lác của đường thẳng liền mạch ( )d trải qua điểm ( )0 0;M x nó với vectơ pháp tuyến 
( );n A BG là: 
( ) ( ) ( )
( )
0 0
0 0
: 0
0
d A x x B nó y
Ax By C C Ax By
− + − =
⇔ + + = = − − 
 Nhận xét: 
Phương trình đường thẳng liền mạch ( )1d tuy nhiên song với ( )d với dạng: ( )1 : 0d Ax By C′+ + = 
 Phương trình đường thẳng liền mạch ( )2d vuông góc với ( )d với dạng ( )2 : 0d Bx Ay C′′− + = 
 Phương trình đường thẳng liền mạch với thông số góc k và trải qua điểm ( )0 0;A x nó là: ( )0 0y k x x y= − + 
 Phương trình đường thẳng liền mạch trải qua ( ) ( );0 , 0;A a B b là: ( ) : 1x yAB
a b
+ = (phương trình đoạn chắn) 
• Phương trình thông số của đường thẳng liền mạch ( )d trải qua ( )0 0;N x nó với vectơ chỉ phương ( );u a bG 
là: 
 ( ) 0
0
:
x x at
d
y nó bt
= +⎧⎨ = +⎩
 ( t là tham lam số) 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
2
• Phương trình chủ yếu tắc của đường thẳng liền mạch ( )d trải qua ( )0 0;N x nó với vectơ chỉ phương ( );u a bG 
( ), 0a b ≠ là: 0 0x x nó y
a b
− −= 
c) Vị trí kha khá thân thuộc hai tuyến phố trực tiếp 
Cho hai tuyến phố trực tiếp ( )1 1 1 1: 0d A x B nó C+ + = và ( )2 2 2 2: 0d A x B nó C+ + = . Khi cơ số uỷ thác điểm 
của ( )1d và ( )2d là số nghiệm của hệ phương trình: ( ) 1 1 1
2 2 2
0
:
0
A x B nó C
I
A x B nó C
+ + =⎧⎨ + + =⎩
 Trong tình huống ( )1d và ( )2d rời nhau thì nghiệm của ( )I đó là tọa phỏng của uỷ thác điểm. 
2. Khoảng cơ hội và góc 
a) Khoảng cơ hội 
• Cho đường thẳng liền mạch ( ) : 0Ax By CΔ + + = và điểm ( )0 0;A x nó . 
Khoảng cơ hội kể từ điểm A cho tới đường thẳng liền mạch ( )d là: ( ) 0 0/ 2 2A Ax By Cd A BΔ
+ += + 
• Cho hai tuyến phố trực tiếp ( )1 1 1: 0A x B nó CΔ + + = và ( )2 2 2 2: 0A x B nó CΔ + + = rời nhau bên trên A . Khi 
đó phương trình hai tuyến phố phân giác của góc A là: 
( ) 1 1 1 2 2 21 2 2 2 2
1 1 2 2
: 0A x B nó C A x B nó Cd
A B A B
+ + + ++ =+ + và ( )
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 2 2
: 0A x B nó C A x B nó Cd
A B A B
+ + + +− =+ + 
b) Góc 
Hai đường thẳng liền mạch ( )1d và ( )2d rời nhau bên trên A dẫn đến 4 góc, góc nhỏ nhất vô 4 góc này được 
gọi là góc thân thuộc hai tuyến phố trực tiếp ( )1d và ( )2d . Nếu 1 2//d d thì góc thân thuộc nhì được trực tiếp là 0o . 
Gọi α là góc thân thuộc ( )1d và ( )2d , β là góc thân thuộc nhì vectơ chỉ phương ( )1 1 1;u a bJG và ( )2 2 2;u a bJJG . 
Khi đó: Nếu 0 90o o≤ β ≤ thì α = β 
 Nếu 90 180o o< β ≤ thì 180oα = −β 
Trong cơ β được xem như sau: 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 1 2 2
.cos
. .
u u a a bb
u u a b a b
+β = = + +
JG JJG
JG JJG 
Khi cơ 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos cos
.
a a bb
a b a b
+α = β = + + 
Các sản phẩm bên trên vẫn đích thị nếu như thay cho vectơ chỉ phương vày vectơ pháp tuyến. 
Trường phù hợp quánh biệt: 
Phương trình đường thẳng liền mạch trải qua điểm ( )0 0;A x nó phù hợp với Ox một góc α với thông số góc 
là tank = α và với phương trình là: ( )0 0y k x x y= − + 
3. Bài luyện về đường thẳng liền mạch 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
3
 a) Bài luyện cơ bạn dạng 
 Bài 1. (Phương trình những đường thẳng liền mạch cơ bạn dạng vô tam giác). 
Cho tam giác ABC với A(1;2), B(-3; 4) và C(2;0). 
a) Viết phương trình đàng trung tuyến AM. 
b) Viết phương trình đàng cao BK 
c) Viết phương trình đàng trung trực của AB. 
 Bài 2. (Tìm tọa phỏng những điểm quan trọng đặc biệt vô tam giác) 
Cho tam giác ABC với A(0;1), B(-2; 3) và C(2;0) 
a) Tìm tọa phỏng trực tâm H của tam giác ABC. 
b) Tìm tọa phỏng tâm I của đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp của tam giác ABC. 
c) Viết phương trình đường thẳng liền mạch qua quýt IH và minh chứng rằng IH trải qua trọng tâm G của tam 
giác ABC. 
Bài 3. (Tìm điểm đối xứng của một điểm qua quýt một đàng thẳng). 
Cho 2 điểm A(1;2) và B(-3; 3) và đường thẳng liền mạch ( ) : 0d x y− = 
a) Tìm tọa phỏng hình chiếu của A bên trên ( )d 
b) Tìm tọa phỏng điểm D đối xứng với A qua quýt d. 
c) Tìm uỷ thác điểm của ( )BD và ( )d 
Bài 4. (Tìm điểm bên trên đường thẳng liền mạch cơ hội một điểm không giống một khoảng chừng cho tới trước) 
 Cho đường thẳng liền mạch 2 2:
1 2
x t
y t
= − −⎧Δ ⎨ = +⎩ và điểm M(3;1). 
a) Tìm bên trên Δ điểm A sao cho tới 13AM = 
b) Tìm bên trên Δ điểm B sao cho tới MB là sớm nhất. 
Bài 5. (Viết phương trình đường thẳng liền mạch qua quýt một điểm cơ hội một điểm một khoảng chừng cho tới 
trước) 
Cho điểm ( )1;1A và điểm ( )2;2B − . Viết phương trình đường thẳng liền mạch ( )d qua quýt A và cơ hội B một 
khoảng vày 5 . 
Bài 6. (Viết phương trình đường thẳng liền mạch phù hợp với một đường thẳng liền mạch cho tới trước một góc) 
Cho đường thẳng liền mạch ( ) 1 0x yΔ + − = . Viết phương trình đường thẳng liền mạch ( )d phù hợp với ( )Δ một góc 
a) 090 b) 045 c) 060 d) 030 
 b) Bài luyện nâng lên 
Bài 1. (B – 2004) Trong mặt mũi phẳng lặng tọa phỏng Oxy cho tới nhì điểm ( )1;1A và ( )4; 3B − . Tìm điểm C 
thuộc đường thẳng liền mạch 2 1 0x y− − = sao cho tới khoảng cách kể từ C cho tới đường thẳng liền mạch AB vày 6. 
Bài 2. (A – 2006) Trong mặt mũi phẳng lặng tọa phỏng, cho những đàng thẳng: 
( ) ( ) ( )1 2 3: 3 0 : 4 0 : 2 0d x nó d x nó d x y+ + = − − = − = 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
4
Tìm tọa phỏng điểm M bên trên ( )3d sao cho tới khoảng cách kể từ M cho tới đường thẳng liền mạch ( )1d vày nhì phiên 
khoảng cơ hội kể từ M cho tới ( )2d 
Bài 3. (D – 2004) Trong mặt mũi phẳng lặng với hệ tọa phỏng Oxy cho tới tam giác ABC với những đỉnh 
( ) ( ) ( )1;0 ; 4;0 ; 0;A B C m− với 0m ≠ . Tìm tọa phỏng trọng tâm G của tam giác ABC theo đòi m. Xác lăm le 
m nhằm tam giác GAB vuông bên trên G. 
Bài 4. Trong mặt mũi phẳng lặng tọa phỏng Đềcac vuông góc Oxy cho tới hình chữ nhật ABCD với tâm 1 ;0
2
I ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , 
phương trình đường thẳng liền mạch AB là 2 2 0x y− + = và AB = 2AD. Tìm tọa phỏng những đỉnh A, B, C, D 
biết rằng đỉnh A với hoành phỏng âm. 
Bài 5. Cho đường thẳng liền mạch ( ) : 2 4 0d x y− + = và điểm ( )2;0A − . Tìm điểm B bên trên trục hoành và 
điểm C bên trên đường thẳng liền mạch d sao cho tới tam giác ABC vuông cân nặng bên trên C. 
Bài 6 (A – 2002). Trong mặt mũi phẳng lặng với hệ tọa phỏng Đêcac vuông góc cho tới tam giác ABC vuông bên trên 
A, phương trình đường thẳng liền mạch BC là 3 3 0x y− − = , những đỉnh A và B nằm trong trục hoành và buôn bán 
kính đàng tròn trĩnh nội tiếp vày 2. Tìm tọa phỏng trọng tâm G của tam giác ABC. 
Bài 7. (B – 2003) Trong mặt mũi phẳng lặng tọa phỏng Đềcac vuông góc Oxy cho tới tam giác ABC với 
n, 90oAB AC BAC= = . lõi ( )1; 1M − là trung điểm cạnh BC và 2 ;0
3
G ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ là trọng tâm tam giác 
ABC. Tìm tọa phỏng những đỉnh A, B, C 
Bài 8 (A – 2004). Trong mặt mũi phẳng lặng với hệ tọa phỏng Oxy cho tới nhì điểm ( )2;0A và ( )3; 1B − − . Tìm 
tọa phỏng trực và tọa phỏng tâm đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp của tam giác OAB. 
Bài 9 ( A – 2005) Trong mặt mũi phẳng lặng với hệ tọa phỏng Oxy cho tới hai tuyến phố trực tiếp 
( ) ( )1 2: 0 : 2 1 0d x nó d x y− = + − = 
Tìm tọa phỏng những đỉnh hình vuông vắn ABCD hiểu được đỉnh A nằm trong 1d , đỉnh C nằm trong 2d và những 
đỉnh B, D nằm trong trục hoành. 
Bài 11 (B – 2008) Trong mặt mũi phẳng lặng với hệ tọa phỏng Oxy, hãy xác lập tọa phỏng điểm C của tam 
giác ABC hiểu được hình chiếu vuông góc của điểm C bên trên đường thẳng liền mạch AB là ( )1; 1H − − . 
Đường phân giác vô của góc A với phương trình 2 0x y− + = và đàng cao kẻ kể từ B với 
phương trình 4 3 1 0x y+ − = 
Bài 10 ( B – 2007) Trong mặt mũi phẳng lặng tọa phỏng với hệ tọa phỏng Oxy, cho tới điểm ( )2;2A và những đàng 
thẳng: ( ) ( )1 2: 2 0 : 8 0d x nó d x y+ − = + − = 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
5
Tìm tọa phỏng những điểm B và C theo thứ tự với những đường thẳng liền mạch ( )1d và ( )2d sao cho tới tam giác ABC 
vuông cân nặng bên trên A. 
Bài 12. Cho hai tuyến phố trực tiếp 1
3:
3 1
x yd − = − và 2
3
:
2
x t
d
y t
= +⎧⎨ = −⎩ và điểm M(1,2) 
Tìm bên trên 1d điểm A và 2d điểm B sao cho tới A, B đối xứng nhau qua quýt M. 
Bài 13. Trong mặt mũi phẳng lặng với hệ tọa phỏng Oxy cho tới tam giác ABC vuông bên trên C . Khoảng cơ hội kể từ 
trọng tâm G cho tới trục hoành vày 1
3
và tọa phỏng nhì đỉnh ( ) ( )2;0 , 2;0A B− . Tìm tọa phỏng đỉnh C . 
Bài 14 Trong mặt mũi phẳng lặng với hệ tọa phỏng Oxy cho tới nhì điểm ( ) ( )0;4 , 5;0A B và đường thẳng liền mạch 
( ) : 2 2 1 0d x y− + = . Lập phương trình hai tuyến phố trực tiếp theo thứ tự trải qua ,A B nhận đường thẳng liền mạch 
( )d thực hiện đàng phân giác. 
Bài 15. Trong mặt mũi phẳng lặng với hệ tọa phỏng Oxy , cho tới đường thẳng liền mạch ( ) : 2 2 0d x y− + = và điểm 
( )0;2A . Tìm bên trên ( )d nhì điểm ,B C sao cho tới tam giác ABC vuông bên trên B và 2AB BC= . 
Bài 16. Trong mặt mũi phẳng lặng với hệ trục tọa phỏng Oxy cho tới hai tuyến phố trực tiếp ( )1 : 3 4 6 0d x y− − = và 
( )2 : 5 12 4 0d x y+ + = rời nhau bên trên điểm M . Lập phương trình đường thẳng liền mạch qua quýt ( )1;1K rời 
( ) ( )1 2,d d tai nhì điểm ,A B sao cho tới tam giác MAB cân nặng bên trên M . 
Bài 17. Cho 3 đường thẳng liền mạch ( ) ( ) ( )1 2 3: 0, : 2 0, : 2 1 0d x nó d x nó d x y+ = + = − + = . Viết phương trình 
các cạnh của tam giác ABC ; biết A là uỷ thác điểm của ( )1d và ( )2d ; ( )3,B C d∈ và tam giác BAC 
vuông cân nặng bên trên A 
Bài 18 – trăng tròn. Các bài bác đặc biệt trị cơ bạn dạng. 
Bài 18. Cho đường thẳng liền mạch ( ) : 1 0d x y+ + = và nhì điểm ( ) ( )2;3 , 2;0A B . Tìm điểm M bên trên đàng 
thẳng ( )d sao cho: 
a) MA MB+ nhỏ b) MA MB− lớn số 1 
Bài 19. Cho đường thẳng liền mạch ( ) : 2 2 0d x y+ − = và nhì điểm ( ) ( )2;0 , 2;6A B − . Tìm điểm N bên trên 
đường trực tiếp ( )d sao cho: a) NA NB+ là nhỏ nhất b) NA NB− lớn số 1 
Bài trăng tròn Bài 3. Cho đường thẳng liền mạch ( ) : 1 0d x y+ + = và nhì điểm ( ) ( )2;3 , 4;1A B − . Tìm điểm M bên trên 
đường trực tiếp ( )d sao cho: a) MA MB+JJJG JJJG nhỏ nhất. b) 2 22 3MA MB+ nhỏ nhất. 
b) Chuyên đề - Xác lăm le những nhân tố của tam giác lúc biết một vài nhân tố cho tới trước 
Dạng 1: lõi tọa phỏng đỉnh và phương trình những đàng nằm trong đặc thù. 
Cho tam giác ABC với điểm A(2;2), hai tuyến phố trực tiếp 1 : 9 3 4 0d x y− − = , 2 : 2 0d x y+ − = . 
Sử dụng fake thiết này nhằm giải những Việc sau. 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
61. lõi tọa đỉnh và phương trình hai tuyến phố cao. 
Cho d1, d2 theo thứ tự là những đàng cao BH và CK. 
a) Viết phương trình cạnh AB, AC 
b) Viết phương trình cạnh BC, và đàng cao còn sót lại. 
2. lõi tọa phỏng đỉnh và phương trình hai tuyến phố trung tuyến. 
Cho d1, d2 là những đàng trung tuyến BM và công nhân. 
a) Tìm tọa phỏng trọng tâm của tam giác ABC, thăm dò điểm D đối xứng của A qua quýt G. 
b) Viết phương trình đường thẳng liền mạch qua quýt D tuy nhiên song với BM 
c) Viết phương trình đường thẳng liền mạch qua quýt D tuy nhiên song với công nhân 
d) Tìm tọa phỏng của B, C. 
3. lõi tọa phỏng đỉnh và phương trình hai tuyến phố phân giác. 
Cho d1, d2 là những đàng phân giác vô của góc B và C. 
a) Tìm tọa phỏng hình chiếu của A bên trên d1, d2 
b) Tìm tọa phỏng điểm A’, A’’ đối xứng của A qua quýt d1, d2. 
c) Viết phương trình đường thẳng liền mạch BC. 
d) Xác lăm le tọa phỏng điểm B, C. 
Dạng 2: lõi tọa phỏng đỉnh và phương trình hai tuyến phố không giống đặc thù. 
Cho tam giác ABC đình A(2;-1), hai tuyến phố trực tiếp 1 2: 2 1 0, : 3 0d x nó d x y− + = + + = 
Sử dụng fake thiết bên trên nhằm giải những Việc sau: 
1. lõi tọa phỏng đỉnh A, phương trình đàng cao BH và phân giác CE. 
Cho d1, d2 theo thứ tự là đàng cao BH và phân giác vô CE. 
a) Viết phương trình đường thẳng liền mạch AC 
b) Xác lăm le tọa phỏng C là uỷ thác điểm của đt CD và đt AC. 
c) Tìm điểm A’ đối xứng của A qua quýt CD 
d) Viết phương trình đường thẳng liền mạch BC trải qua A’ và C. 
2. lõi tọa phỏng đỉnh A, đàng cao BH và trung tuyến CM 
Cho d1, d2 theo thứ tự là đàng cao BH và trung tuyến CM. 
a) Viết phương trình đường thẳng liền mạch AC. 
b) Gọi B(xB, yB) thăm dò tọa phỏng M theo đòi tọa phỏng của B. 
c) Tìm tọa phỏng của B. 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
7
II. Đường tròn trĩnh 
1. Phương trình đàng tròn trĩnh 
a) Phương trình đàng tròn trĩnh 
Phương trình đàng tròn trĩnh ( )C với tâm ( );I a b với nửa đường kính R là: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2: 1C x a nó b R− + − = 
Phương trình đàng tròn trĩnh với dạng: 
2 2 2 2 0x nó ax by c+ + + + = ( )2 với ĐK 2 2 0a b c+ − > . Khi cơ tâm ( ),I a b− − và nửa đường kính 
2 2R a b c= + − 
b) Cách ghi chép phương trình tiếp tuyến 
Cho đàng tròn trĩnh ( ) ( ) ( )2 2 2:C x a nó b R− + − = 
• Tiếp tuyến bên trên một điểm ( )0 0;A x nó là phương trình đường thẳng liền mạch qua quýt A với vectơ pháp 
tuyến là: ( )0 0;IA x a nó b= − −JJG nên với phương trình: ( )( ) ( )( )0 0 0 0 0x a x x nó b nó y− − + − − = 
• Tiếp tuyến của đàng tròn trĩnh trải qua điểm ( )0 0;P x nó ở ngoài đàng tròn trĩnh là đường thẳng liền mạch 
qua Phường và cơ hội ( );I a b một khoảng chừng vày nửa đường kính R . (đã biết phương pháp viết) 
c) Một vài ba đặc thù của đàng tròn trĩnh. 
Điều khiếu nại xúc tiếp 
Điều khiếu nại xúc tiếp của đàng tròn trĩnh ( ) ( ) ( )2 2 2:C x a nó b R− + − = với đường thẳng liền mạch 
( ) : 0Ax By CΔ + + = là : 
/ 2 2I
aA bB C
d R R
A B
Δ
+ += ⇔ =+ 
 Đặt biệt: 
 + Khi OxΔ ≡ thì b R= 
 + Khi OyΔ ≡ thì a R= 
 Điều khiếu nại nhằm đàng tròn trĩnh ( )1 1;I R và đàng tròn trĩnh ( )2 2;I R xúc tiếp ngoài là 1 trong 2 1 2I I R R= + 
 Điều khiếu nại nhằm đàng tròn trĩnh ( )1 1;I R và đàng tròn trĩnh ( )2 2;I R xúc tiếp vô là 1 trong 2 1 2I I R R= − 
 Tính hóa học tiếp tuyến, cát tuyến 
 Nếu PA, PB là nhì tiếp tuyến của đàng tròn trĩnh tâm I nửa đường kính R (A, B là nhì tiếp điểm) thì
 + PA PB= 
 + IP là đàng trung trực của AB 
 Cho AB là thừng cung của đàng tròn trĩnh và M là trung điểm của AB thì IM AB⊥ và 
2
2
4
ABIM R= − 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
8
2. Bài luyện về đàng tròn trĩnh 
a) Viết phương trình đàng tròn trĩnh lúc biết một vài nhân tố. 
Trong phần này nhằm ghi chép phương trình đàng tròn trĩnh tớ cần thiết xác lập tọa phỏng tâm và phỏng lâu năm 
bán kính của đàng tròn trĩnh. Ta thông thường gọi ( ),I a b là tâm, nửa đường kính R . Từ những ĐK vẫn 
cho thiết lập phương trình, hệ phương trình với ẩn là , ,a b R . Chú ý cho tới những ĐK tiếp 
xúc. 
Bài 1. 
 a) Viết phương trình đàng tròn trĩnh trải qua nhì điểm A(0;1), B(2;-2) và với tâm phía trên đường thẳng liền mạch 
( ) : 2 0d x y− − = 
 b) Viết phương trình đàng tròn trĩnh trải qua A(0;1) và B(2;-3) và với nửa đường kính R = 5. 
c) Viết phương trình đàng tròn trĩnh trải qua gốc tọa phỏng, với nửa đường kính 5R = và với tâm phía trên 
đường trực tiếp ( ) : 1 0d x y+ − = 
Bài 2. 
a) Viết phương trình đàng tròn trĩnh xúc tiếp với hai tuyến phố trực tiếp ( )1 : 3 4 1 0d x y− + = , 
( )2 : 4 3 7 0d x y+ + = và trải qua điểm A(2;3). 
b) Viết phương trình đàng tròn trĩnh nửa đường kính 5R = , trải qua gốc tọa phỏng và xúc tiếp với đường thẳng liền mạch 
( ) : 2 5 0d x y− + = . 
c) Viết phương trình đàng tròn trĩnh trải qua A(3;2), B(1;4) và xúc tiếp với trụcOx . 
Bài 3 Trong mặt mũi với hệ tọa phỏng Đềcac vuông góc Oxy cho tới đàng tròn: 
( ) ( ) ( )2 2: 1 2 4C x y− + − = và đường thẳng liền mạch ( ) : 1 0d x y− − = . 
Viết phương trình đàng tròn trĩnh ( )C′ đối xứng với ( )C qua quýt đường thẳng liền mạch ( )d . Tìm tọa phỏng uỷ thác điểm 
của hai tuyến phố tròn trĩnh. 
Bài 4 (B – 2005) Trong mặt mũi phẳng lặng với hệ tọa phỏng Oxy cho tới nhì điểm ( )2;0A và ( )6;4B . Viết 
phương trình đàng tròn trĩnh ( )C xúc tiếp với trục hoành bên trên điểm A và khoảng cách kể từ tâm của ( )C 
đến điểm B vày 5. 
Bài 5 (A – 2007) Trong mặt mũi phẳng lặng với hệ tọa phỏng Oxy, cho tới tam giác ABC với ( ) ( )0;2 , 2; 2A B − − và 
( )4; 2C − . Gọi H là chân đàng cao kẻ kể từ B; M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB và AC. 
Viết phương trình đàng tròn trĩnh trải qua những điểm H, M, N. 
Bài 6. Trong mặt mũi phẳng lặng tọa phỏng Oxy cho tới hai tuyến phố trực tiếp 
( ) ( )1 2: 2 3 0 : 4 3 5 0d x nó d x y− + = + − = 
Lập phương trình đàng tròn trĩnh với tâm I bên trên ( )1d xúc tiếp với ( )2d và với nửa đường kính 2R = 
Bài 7. Trong mặt mũi phẳng lặng với hệ tọa phỏng Oxy, cho tới hai tuyến phố tròn: 
( ) ( )2 2 2 21 2: 16 : 2 0C x nó C x nó x+ = + − = 
Lập phương trình đàng tròn trĩnh ( )C với tâm ( )2,I a xúc tiếp vô với ( )1C và xúc tiếp ngoài với 
( )2C 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
9
Bài 8 . Cho đàng tròn trĩnh ( ) ( ) ( )2 2: 1 2 5C x y− + − = . 
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đàng tròn trĩnh biết tiếp tuyến trải qua điểm ( )2;1B − 
b) Viết phương trình đàng tròn trĩnh với tâm nằm trong trục tung với nửa đường kính vày nhì phiên nửa đường kính của 
( )C và xúc tiếp ngoài với ( )C 
Bài 9 Viết phương trình đàng tròn trĩnh xúc tiếp với nhì trục tọa phỏng và trải qua điểm ( )4;2A 
Bài 10 Viết phương trình đàng tròn trĩnh với tâm nằm trong trục tung và xúc tiếp với hai tuyến phố thăng 
( )1 : 2 4 0d x y− + = và ( )2 : 2 4 0d x y− − = 
b) Viết phương trình tiếp tuyến, cát tuyến 
Bài 1. Cho đàng tròn trĩnh với phương trình ( ) ( )2 22 3 4x y− + − = . 
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đàng tròn trĩnh bên trên điểm nằm trong đàng tròn trĩnh và với hoành phỏng x = 1. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đàng tròn trĩnh trải qua gốc tọa phỏng. Tìm phương trình đàng 
thẳng trải qua nhì tiếp điểm. 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đàng tròn trĩnh vuông góc với đường thẳng liền mạch ( ) : 1 0d x y+ − = . 
Bài 2. Cho đàng tròn trĩnh ( ) ( )2 21 3 25x y− + + = . ( C) 
a) Viết phương trình đường thẳng liền mạch trải qua gốc tọa phỏng và rời đàng tròn trĩnh theo đòi một thừng có tính lâu năm 
bằng 8. 
b) Viết phương trình đường thẳng liền mạch qua quýt qua điểm A(-4;0) rời đàng tròn trĩnh bên trên nhì điểm A, B sao 
cho tam giác IAB với diện tích S là 25
4
. 
Bài 3. Trong mặt mũi phẳng lặng với hệ tọa phỏng Oxy, cho tới đàng tròn trĩnh ( ) ( ) ( )2 2: 1 2 9C x y− + + = và đàng 
thẳng ( ) : 3 4 1 0d x y− + = . Tìm điểm Phường bên trên đường thẳng liền mạch ( )d sao cho tới hoàn toàn có thể vẽ được nhì tiếp 
tuyến cho tới đàng tròn trĩnh là ,PA PB (A, B là nhì tiếp điểm) tuy nhiên tam giác PAB : 
1. Tam giác đều 
2. Tam giác vuông bên trên Phường 
Bài 4. Trong mặt mũi phẳng lặng tọa Oxy, cho tới đàng tròn trĩnh ( ) ( )2 2: 3 5C x y− + = và nhì điểm 
( ) 51;1 , 2;
2
A M
⎛ ⎞−−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
. 
a) Tìm bên trên đàng tròn trĩnh nhì điểm B, C sao cho tới tam giác ABC đều. 
b) Viết phương trình đường thẳng liền mạch ( )Δ qua quýt M sao cho tới rời đàng tròn trĩnh bên trên nhì điểm 
,E F mùng 60oEAF = 
Bài 5. Trong mặt mũi phẳng lặng tọa phỏng Oxy, cho tới đàng tròn trĩnh ( ) 2 2: 2 2 10 0C x nó y y+ − + − = và điểm 
( )1;1M . Lập phương trình đường thẳng liền mạch qua quýt M rời ( )C bên trên ,A B sao cho tới 2MA MB= . 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
10
Bài 6 (D – 2007) Trong mặt mũi phẳng lặng với hệ tọa phỏng Oxy, cho tới đàng tròn trĩnh ( ) ( ) ( )2 2: 1 2 9C x y− + + = 
và đường thẳng liền mạch ( ) : 3 4 0d x nó m− + = . Tìm m nhằm bên trên ( )d với có một không hai một điểm Phường tuy nhiên kể từ cơ vẽ được 
hai tiếp tuyến PA, PB cho tới ( )C (A, B là những tiếp điểm) sao cho tới tam giác PAB đều. 
Bài 7 (B – 2006) Trong mặt mũi phẳng lặng tọa phỏng Oxy, cho tới đàng tròn trĩnh ( ) 2 2: 2 6 6 0C x nó x y+ − − + = và 
điểm ( )3;1M − . Gọi 1 2,T T theo thứ tự là những tiếp điểm của những tiếp tuyến kẻ kể từ M cho tới ( )C . Viết 
phương trình đường thẳng liền mạch 1 2TT . 
c) Các Việc không giống. 
Bài 1 . Cho đàng tròn trĩnh với phương trình ( ) ( )2 2 22 1 5x y− + − = và đường thẳng liền mạch 
( ) ( ): 4 3d nó k x= + + . 
a) Chứng minh rằng đường thẳng liền mạch ( )d luôn luôn trải qua một điểm thắt chặt và cố định 
b) Tìm k nhằm đường thẳng liền mạch rời đàng tròn trĩnh bên trên nhì điểm phân biệt ,A B . 
c) Khi đường thẳng liền mạch rời đàng tròn trĩnh bên trên ,A B . Chứng minh trung điểm I của AB nằm trong 1 đàng cố 
định, ghi chép phương trình đàng thắt chặt và cố định cơ. 
Bài 2 Cho đàng tròn trĩnh ( )C với phương trình ( ) ( )2 25 4 25x y− + − = . ( );0P m là một trong những điểm thay cho thay đổi 
trên trục hoành 
a) Tìm m nhằm kể từ Phường kẻ được nhì tiếp tuyến cho tới đàng tròn trĩnh ( )C 
b) Với ĐK của câu a, fake sử nhì tiếp tuyến này là ,PA PB (A,B là nhì tiếp điểm). Chứng 
minh rằng AB luôn luôn trải qua một điểm thắt chặt và cố định khi Phường dịch chuyển bên trên trục hoành, thăm dò tọa phỏng 
điểm thắt chặt và cố định cơ. 
Bài 3. Cho tía điểm ( ) ( ) ( )2; 4 , 1;5 , 6;4A B C− − − . 
a) Viết phương trình đàng tròn trĩnh (C) trải qua tía điểm , ,A B C . Tìm tọa phỏng tâm I và nửa đường kính R của 
đường tròn trĩnh vừa vặn tìm kiếm ra. 
b) Viết phương trình đàng tròn trĩnh trải qua I và O rời ( C) bên trên nhì điểm D, E sao cho tới tam giác IDE 
có diện tích S lớn số 1. 
MATHVN.COM - www.mathvn.com